Question

10．已知函数f（x）=2ax³-（3a+1）x²+2x+5；
（1）a为何值时，函数f（x）没有极值点；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据题意只需f′（x）≥0即可求出a的值；
（2）通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）f′（x）=6ax²-2（3a+1）x+1=2（3ax-1）（x-1），
∴3a=1，a=$\frac{1}{3}$时无极值点；
（2）由（1）得：
①a＞$\frac{1}{3}$时，$\frac{1}{3a}$＜1，
f（x）在（-∞，$\frac{1}{3a}$），（1，+∞）递增，在（$\frac{1}{3a}$，1）递减，
②a=$\frac{1}{3}$时，f（x）在R递增，
③0＜a＜$\frac{1}{3}$时，1＜$\frac{1}{3a}$，
f（x）在（-∞，1，），（$\frac{1}{3a}$+∞）递增，在（1，$\frac{1}{3a}$）递减，
④当a=0时，f（x）=-（x-1），
f（x）在（-∞，1）递增，在（1，+∞）递减，
⑤a＜0时，$\frac{1}{3a}$＜1，
f（x）在（-∞，$\frac{1}{3a}$），（1，+∞）递减，在（$\frac{1}{3a}$，1）递增．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．