题目内容

设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f(
xy
)=f(x)-f(y)，若f（2）=1，则f（4）=
 
．
分析：因为f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，利用增函数的定义可以知道自变量与函数值之间应为一一对应的关系，又由于且f(
x
y
)=f(x)-f(y)，若f（2）=1，所以利用已知条件对于该式子利用恰当的赋值即可求解．
解答：解：由于f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f(
x
y
)=f(x)-f(y)，若f（2）=1，所以令x=4，y=2，得：f(
4
2
)=f(4)-f(2)?f（2）=f（4）-f（2）?f（4）=2f（2）=2．
故答案为：2．
点评：此题考查了增函数的定义，还考查了已知任意两变量的抽象函数式，利用恰当的赋值法进行求值．
练习册系列答案
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设f（x）是定义在R上的奇函数，且y=f（x）的图象关于直线x=
12
对称，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=
 
．
例2．设f（x）是定义在[-3，
2
]上的函数，求下列函数的定义域（1）y=f(
x
-2)（2）y=f(
x
a
)(a≠0)
设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，而当x∈[2，3]时，g（x）=-x2+4x-4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，求证：|f（x2）-f（x1）|＜2|x2-x1|；
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设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（-2，1]上的图象，则f（2013）+f（2014）=（　　）
（2013•内江一模）设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2）且当x∈[-2，0]时，f（x）=（
1
2
）x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是
（
34
，2）
（
34
，2）
．

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