Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，而当x∈[2，3]时，g（x）=-x²+4x-4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，求证：|f（x₂）-f（x₁）|＜2|x₂-x₁|；
（Ⅲ）对任意x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，求证：|f（x₂）-f（x₁）|≤1．

Answer 1

分析：（I）根据g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，则f（x+1）=g（1-x）即f（x）=g（2-x），从而可求出-1≤x≤0时函数f（x）的解析式，最后根据奇偶性求出函数在0＜x≤1上的解析式；
（II）当x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂时，0＜x₁+x₂＜2，代入解析式进行化简变形，即可证得结论；
（III）当x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂时，0≤x₁²≤1，0≤x₂²≤1∴-1≤x₂²-x₁²≤1即|x₂²-x₁²|≤1，即可证得结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意知f（x+1）=g（1-x）?f（x）=g（2-x）
当-1≤x≤0时，2≤2-x≤3，f（x）=-（2-x）²+4（2-x）-4=-x²
当0＜x≤1时，-1≤-x＜0∴f（-x）=-x²，
由于f（x）是奇函数∴f（x）=x²∴f(x)=

-x2(-1≤x≤0) x2(0＜x≤1)

（Ⅱ）当x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂时，0＜x₁+x₂＜2，
∴|f（x₂）-f（x₁）|=|x₂²-x₁²|=|（x₂-x₁）（x₂+x₁）|＜2|x₂-x₁|
（Ⅲ）当x₁，x₂∈[0，1]且x₁≠x₂时，0≤x₁²≤1，0≤x₂²≤1，
∴-1≤x₂²-x₁²≤1即|x₂²-x₁²|≤1．∴|f（x₂）-f（x₁）|=|x₂²-x₁²|≤1．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数的解析式的求解和不等式的证明，同时考查了化简转化能力，属于中档题．