Question

16．已知等轴双曲线C的一个焦点坐标是（$\sqrt{2}$，0），直线y=kx+b与双曲线C恰有1个交点，以|k|，|b|，1为边长的三角形的形状是（　　）

• A． 等腰三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰或直角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 根据条件求出等轴双曲线的方程，联立直线和双曲线，利用直线和双曲线只有一个交点，得到k，b的关系，进行判断即可．

解答 解：∵等轴双曲线C的一个焦点坐标是（$\sqrt{2}$，0），
∴设等轴双曲线为x²-y²=m，（m＞0），c=$\sqrt{2}$，
则标准方程为$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{m}$=1，
则a²=b²=m，
则c²=a²+b²=2m=2，
则m=1，
则等轴双曲线为x²-y²=1，
将y=kx+b代入x²-y²=1得（k²-1）x²+2kbx+1+b²=0，
当k²-1=0，即k=±1时，方程有一个解，满足条件．
三角形的边长为1，|b|，1，此时为等腰三角形，
当k²-1≠0时，若方程有一个解，则判别式△=0，
即4k²b²-4（k²-1）（1+b²）=0，
整理得1+b²=k²，
则三角形的边长为|k|，|b|，1此时为直角三角形，
综上三角形的形状为等腰或直角三角形，
故选：C．

点评 本题主要考查双曲线性质的应用，根据条件求出等轴双曲线的方程，结合直线和双曲线的位置关系求出，k，b的关系是解决本题的关键．