Question

1．已知E（2，2）是抛物线C：y²=2px上一点，经过点（2，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于点E），直线EA，EB分别交直线x=-2于点M，N．
（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；
（Ⅱ）求证：OM与ON相互垂直．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将E（2，2）代入y²=2px，得p，然后求解抛物线方程，焦点坐标．
（Ⅱ）设$A（\frac{y_1^2}{2}，{y_1}）$，$B（\frac{y_2^2}{2}，{y_2}）$，M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），直线l不经过点E，所以直线l的斜率一定存在，设直线l方程为y=k（x-2），联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\{y^2}=2x\end{array}\right.$，通过韦达定理，求解直线AE的方程求出M，N坐标，利用向量的数量积为0，证明OM⊥ON．

解答 解：（Ⅰ）将E（2，2）代入y²=2px，得p=1…（2分）
所以抛物线方程为y²=2x，焦点坐标为$（\frac{1}{2}，0）$…（4分）
（Ⅱ）设$A（\frac{y_1^2}{2}，{y_1}）$，$B（\frac{y_2^2}{2}，{y_2}）$，M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），
因为直线l不经过点E，所以直线l的斜率一定存在，
设直线l方程为y=k（x-2）…（5分）
与抛物线方程联立得到 $\left\{\begin{array}{l}y=k（x-2）\\{y^2}=2x\end{array}\right.$
消去x，得：ky²-2y-4k=0…（6分）
则由韦达定理得：${y_1}{y_2}=-4，\;{y_1}+{y_2}=\frac{2}{k}$…（7分）
直线AE的方程为：$y-2=\frac{{{y_1}-2}}{{\frac{y_1^2}{2}-2}}（{x-2}）$，即$y=\frac{2}{{{y_1}+2}}（{x-2}）+2$
令x=-2，得${y_M}=\frac{{2{y_1}-4}}{{{y_1}+2}}$…（8分）
同理可得：${y_N}=\frac{{2{y_2}-4}}{{{y_2}+2}}$…（9分）
又 $\overrightarrow{OM}=（-2，{y_M}），\overrightarrow{ON}=（-2，{y_N}）$，
所以$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=4+{y_M}{y_N}=4+\frac{{2{y_1}-4}}{{{y_1}+2}}•\frac{{2{y_2}-4}}{{{y_2}+2}}$…（10分）
=$4+\frac{{4[{y_1}{y_2}-2（{y_1}+{y_2}）+4]}}{{[{y_1}{y_2}+2（{y_1}+{y_2}）+4]}}$=4+$\frac{4（-4-\frac{4}{k}+4）}{-4+\frac{4}{k}+4}$=0…（11分）
所以OM⊥ON…（12分）

点评 本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．