Question

【题目】设，命题p：函数在内单调递增；q：函数仅在处有极值.

（1）若命题q是真命题，求a的取值范围；

（2）若命题是真命题，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)函数仅在处有极值，则在左右两侧导数符号相反，可得恒成立，转化为求解二次不等式的恒成立问题；（2）当p是真命题时，利用复合函数“同增异减”研究的单调性问题，求出相应a的范围，又是真命题，则至少有一个是真命题，所以取p是真命题时a的取值集合与是真命题时a的取值集合的并集即可.

（1）由题意知，，显然不是方程的根,

为使仅在处有极值，必须恒成立，即，

解不等式，得，这时是唯一极值，

因此满足条件的a的取值范围是.

（2）当p是真命题时，对恒成立,则，记，则

当时，要使得是增函数，则需有对恒成立，所以，与矛盾；

当时，要使得是增函数，则需有对恒成立，所以，所以.

记当p是真命题时a的取值集合为A，则；

记当是真命题时a的取值集合为B，则.

因为是真命题，

所以a的取值范围是.