Question

3．已知圆的半径为4，其内接三角形的三边长分别为a，b，c，若$abc=16\sqrt{2}$，则该三角形的面积为（　　）

• A． $8\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2×4，及其$abc=16\sqrt{2}$，可得sinAsinBsinC=$\frac{\sqrt{2}}{32}$．再利用三角形面积公式S_△ABC=$\frac{1}{2}{a}^{2}•\frac{sinBsinC}{sinA}$，即可得出．

解答 解：由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2×4，∵$abc=16\sqrt{2}$，
∴sinAsinBsinC=$\frac{\sqrt{2}}{32}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}{a}^{2}•\frac{sinBsinC}{sinA}$=$\frac{1}{2}{a}^{2}$×$\frac{\frac{\sqrt{2}}{16sinA}}{sinA}$=$\frac{1}{2}（\frac{a}{sinA}）^{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{32}$=$\frac{\sqrt{2}}{64}$×8²=$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．