题目内容
已知椭圆
的离心率与双曲线
的离心率互为倒数，直线
与以原点为圆心，以椭圆
的短半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左焦点为
，右焦点为
，直线
过点
且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于点
，线段
垂直平分线交于点
，求点的轨迹
的方程；
（3）设第（2）问中的与
轴交于点
，不同的两点
在上，且满足
,求
的取值范围.
的离心率与双曲线的离心率互为倒数，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆
的方程；（2）设椭圆
的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；（3）设第（2）问中的
与轴交于点，不同的两点在上，且满足,求的取值范围.（1）
；（2）
（3）
；（2）（3）试题分析：（1）双曲线的离心率为
，所以椭圆的离心率为
。根据题意原点到直线的距离为
，又因为
可解得
。（2）由题意知
即点到直线
，和到点
的距离相等，根据椭圆的定义可知点的轨迹是以为焦点以直线为准线的抛物线。（3）由的方程为知
设
，根据得出
的关系，用两点间距离求，再用配方法求最值。试题解析：解（1）易知：双曲线的离心率为
，
，即
， 1分又由题意知：
， 2分
椭圆的方程为. 3分（2）
动点到定直线
的距离等于它到定点
的距离 5分动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线， 6分点的轨迹的方程为. 7分（3）由（2）知：
,设， 则
， 8分
， 9分由
，左式可化简为：
， 10分
，当且仅当
，即
时取等号， 11分又
，当
，即
时，
， 13分故
的取值范围是. 14分
练习册系列答案
相关题目
：
的离心率
，顶点
的距离为
,
为坐标原点.
两点.
的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由；
的最小值.
＝1上一点M作圆x2＋y2＝2的两条切线，点A，B为切点．过A，B的直线l与x轴、y轴分别交于P，Q两点，则△POQ的面积的最小值为( )
＝1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2
，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－
.设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
＝
(O为坐标原点)，求|y1－y2|的值；
和
相交，则过点
与椭圆
的位置关系为( )
在椭圆
内 
＝1上任一点P，由点P向x轴作垂线PQ，垂足为Q，设点M在PQ上，且
＝2
，点M的轨迹为C.
且平行于x轴的直线上一动点，且满足
＝
＋
(O为原点)，且四边形OANB为矩形，求直线l的方程．
＝1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足
＝
＋
，则动点Q的轨迹方程是________．
过椭圆
的左焦点
和一个顶点
，则椭圆的方程为 ．
的焦点重合，一个顶点的坐标为
，则此椭圆方程为 ．