Question

如图，设椭圆：的离心率，顶点的距离为,为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于两点.
（ⅰ）试判断点到直线的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由；
（ⅱ）求的最小值.

Answer 1

（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）．

试题分析：（1）利用离心率可得，关系．由两个顶点距离可得，距离，由此结合可求得，的值，从而求得椭圆的标准方程；（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况求解．当直线的斜率不存在时，情况特殊，易求解；当直线的斜率存在时，设直线的方程为与椭圆方程联立消去得到关于的一元二次方程，然后结合韦达定理与，以及点到直线的距离公式求解；（3）在中，利用＝与，结合基本不等式求解．
试题解析：（1）由，得，
由顶点的距离为，得，
又由，解得，所以椭圆C的方程为．
（2）解：（ⅰ）点到直线的距离为定值．
设,
① 当直线AB的斜率不存在时，则为等腰直角三角形，不妨设直线：，
将代入，解得，
所以点到直线的距离为；
② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为与椭圆：，
联立消去得，
，．
因为，所以，，
即，
所以，整理得，
所以点到直线的距离＝．
综上可知点到直线的距离为定值．
（ⅱ）在中，因为＝
又因为≤，所以≥，
所以≥，当时取等号，即的最小值是．