题目内容

若函数y=sinx+acosx在区间 $数学公式$ 上是单调函数，且最大值为 $数学公式$ ，则实数a=________．

$\text{[math]}$
分析：先根据辅角公式进行化简，再由y=sinx+acosx在区间 $\text{[math]}$ 上的单调性可得到x= $\text{[math]}$ 时y=sinx+acosx取到最大值，即sin $\text{[math]}$ +acos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，进而可得到a的值．
解答：∵y=sinx+acosx= $\text{[math]}$ sin（x+ρ）在区间 $\text{[math]}$ 上是单调函数
∴当x= $\text{[math]}$ 时y=sinx+acosx取到最大值 $\text{[math]}$
∴sin $\text{[math]}$ +acos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ∴a= $\text{[math]}$ ，
当x=0时，函数取得最大值为a= $\text{[math]}$ ，显然不成立．
综上a= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查辅角公式的应用和三角函数的单调性．高考对三角函数的考查以基础题为主，平时要注意基础知识的积累和灵活运用．