Question

5．用数学归纳法证明斐波拉契数列的通项公式．

Answer 1

分析 验证n=1、2时命题成立，然后假设对一般的n=1，2，3，4，…k时命题成立，由归纳假设，结合a_k+1=a_k+a_k-1，证明n=k+1时命题成立．

解答 证明：${a}_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{n}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}]$．
当n=1时，${a}_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}[\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}]=1$，
当n=2时，${a}_{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{2}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{2}]$=$\frac{1}{\sqrt{5}}[\frac{6+2\sqrt{5}}{4}-\frac{6-2\sqrt{5}}{4}]=1$；
假设对一般的n=1，2，3，4，…k时命题成立，那么当n=k+1时：
a_k+1=a_k-1+a_k=$\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{k-1}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{k-1}]$$+\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{k}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{k}]$
=$\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{k-1}（1+\frac{1+\sqrt{5}}{2}）-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{k-1}（1+\frac{1-\sqrt{5}}{2}）]$
=$\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{k-1}•\frac{3+\sqrt{5}}{2}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{k-1}•\frac{3-\sqrt{5}}{2}]$
=$\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{k-1}（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{2}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{k-1}（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{2}]$
=$\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{k+1}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{k+1}]$．
综上，命题对于任意的n∈N^*都成立．
即斐波拉契数列的通项公式为${a}_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{n}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}]$．

点评 本题考查数学归纳法证明数列不等式，证明该题的关键是保证基础，即需验证n=1、2成立，是中档题．