Question

长方形OABC各点的坐标如图所示，D为OA的中点，由D点发出的一束光线，入射到边AB上的点E处，经AB、BC、CO一次反射后恰好经过点A，则入射光线DE所在的直线斜率为

 

．

Answer 1

考点：与直线关于点、直线对称的直线方程

专题：直线与圆

分析：设入射光线DE的倾斜角为θ，则由题意可得反射线GA的倾斜角为π-θ．用点斜式求得GA的方程，可得点G的坐标；再用点斜式求得FE的方程，可得点E的坐标．直角三角形DAE中，利用直角三角形中的边角关系求得tanθ 的值，可得DE的斜率．

解答： 解：如图所示：设入射光线DE的倾斜角为θ，则由题意可得反射线GA的倾斜角为π-θ，
故GA的斜率为tan（π-θ）=-tanθ，故GA的方程为y-0=-tanθ（x-2），
故点G的坐标为（0，2tanθ）．
直线FE的斜率为tan（π-θ）=-tanθ，CG=1-OG=1-2tanθ，CF=

CG

tanθ

=

1

tanθ

-2），
点F的坐标为（

1

tanθ

-2，1），故FE的方程为y-1=-tanθ（x-

1

tanθ

+2），
故点E（2，2-4tanθ）．
直角三角形DAE中，由tan∠ADE=tanθ=

AE

AD

=AE=2-4tanθ，
求得tanθ=

2

5

，故DE的斜率为

2

5

，
故答案为：

2

5

．

点评：本题主要考查反射定理的应用，用点斜式求直线的方程，直角三角形中的边角关系，属于基础题．