Question

9．已知函数f（x）=[2sin（x+$\frac{π}{3}$）+sinx]cosx-$\sqrt{3}$sin²x
（1）求f（x）的周期；
（2）求f（x）在[0，$\frac{5π}{12}$]上的最值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数中的恒等变换可化f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），从而可求其周期；
（2）x∈[0，$\frac{5π}{12}$]⇒2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函数的单调性可求f（x）在[0，$\frac{5π}{12}$]上的最值．

解答 解：（1）原函数可化为：f（x）=（2sinx+$\sqrt{3}$cosx）cosx-$\sqrt{3}$sin²x
=2sinxcosx+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
则f（x）的周期为π；
（2）x∈[0，$\frac{5π}{12}$]⇒2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[-1，2]，
∴f（x）在x∈[0，$\frac{5π}{12}$]时，f（x）_min=-1，f（x）_max=2．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换中的应用，考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．