Question

3．已知抛物线y²=2px（p＞0），直线l：y=x-$\frac{p}{2}$与抛物线C相交于点A，B，过A，B作直线x=4的垂线，垂足分别为C，D，且C，D在直线l的右侧，若梯形ABDC的面积为4$\sqrt{2}$，则p=（　　）

• A． $\frac{2}{3}$或2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{2}$或2

Answer 1

分析 求出x₁+x₂=3p，得到|AC|+|BD|=8-3p，|AB|=4p，得到关于p的方程，解出检验即可．

解答 解：∵l经过抛物线的焦点，且倾斜角是45°，
∴梯形ABCD的高是$\frac{\sqrt{2}}{2}$|AB|，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由抛物线的定义可知：
|AB|=x₁+x₂+p，又|AC|=4-x₁，|BD|=4-x₂，
∴|AC|+|BD|=8-（x₁+x₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，得：x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
∴x₁+x₂=3p，
|AC|+|BD|=8-3p，|AB|=4p，
由4$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$×（8-3p）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$×4p，
解得：p=2或$\frac{2}{3}$，
当p=2时，C、D在直线l的两侧，不合题意，
∴p=$\frac{2}{3}$，
故选：C．

点评 本题考查了抛物线问题，考查转化思想以及三角形的面积，是一道中档题．