Question

11．已知f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）写出f（x）的图象是由正弦曲线y=sinx经过怎样的变换得到的？
（3）若$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$，求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．
（2）y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
（3）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值与最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，x∈R，故它的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
可得它的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）把曲线y=sinx向左平移$\frac{π}{6}$个单位，可得y=sin（x+$\frac{π}{6}$）的图象；
再把所得图象的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象；
再把所得图象向上平移$\frac{3}{2}$个单位，可得 f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$的图象．
（3）若$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$，则2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
故当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数取得最大值为$\frac{5}{2}$，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$时，函数取得最小值为$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}$=2．

点评 本题主要正弦函数的周期性和单调性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．