Question

4．（1）判断并证明函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$的奇偶性；
（2）证明函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$在x∈[2，+∞） 上是增函数，并求f（x）在[4，8]上的值域．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，利用奇函数的定义进行判断；
（2）利用导数法证明，根据函数的单调性求f（x）在[4，8]上的值域．

解答 解：（1）函数f（x）是奇函数．
理由：函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
f（-x）=-x-$\frac{4}{x}$=-f（x），∴函数f（x）是奇函数；
（2）证明：∵f（x）=x+$\frac{4}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{2}}$，
∵x＞2，∴f′（x）＞0，
∴函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$在x∈[2，+∞） 上是增函数，
∴f（x）在[4，8]上是增函数，
∴函数f（x）=x+$\frac{4}{x}$在[4，8]上的值域是[5，$\frac{17}{2}$]．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．