Question

3．已知抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点A（m，4）到其焦点的距离为$\frac{17}{4}$．
（Ⅰ）求p和m的值；
（Ⅱ）设B（-1，1），过点B任作两直线A₁B₁，A₂B₂，与抛物线C分别交于点A₁，B₁，A₂，B₂，过A₁，B₁的抛物线C的两切线交于P，过A₂，B₂的抛物线C的两切线交于Q，求PQ的直线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：y=-$\frac{p}{2}$，根据抛物线定义能求出p与m的值．
（Ⅱ）直线PQ就是抛物线C在点B（-1，1）处的切线．

解答 解：（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：y=-$\frac{p}{2}$，根据抛物线定义
点（m，4）到焦点的距离等于它到准线的距离，即4+$\frac{p}{2}$=$\frac{17}{4}$，解得p=$\frac{1}{2}$
所以抛物线方程为：x²=y，将A（m，4）代入抛物线方程，解得m=±2，
（Ⅱ）因为点B（-1，1）在抛物线C上，所以B₁，B₂即为点B，
则过A₁，B₁的抛物线C的两切线交于P在过B的抛物线C的切线上，
过A₂，B₂的抛物线C的两切线交于Q同样在过B的抛物线C的切线上，
故直线PQ就是抛物线C在点B（-1，1）处的切线，
因为y=x²，
所以y′=2x，
则直线PQ的斜率k=-2，
故直线PQ的方程为y-1=-2（x+1），即为y=-2x-1

点评 本题考查抛物线的性质和应用，具体涉及到抛物线和直线的位置关系的应用，抛物线的简单性质，直线方程等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答，合理地进行等价转化．