Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；

（Ⅱ）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）函数的定义域为.且 ，据此列表讨论可知：的单调递增区间为，单调递减区间为.的极大值为，无极小值.

（Ⅱ）由题意可得恒成立，令 ，由导函数可得当时函数有最大值，所以.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，则 ，据此结合不等式的性质利用放缩法即可证得.

（Ⅰ）定义域为.

，令，得.

		0
	增	极大值	减

由上图表知：

的单调递增区间为，单调递减区间为.

的极大值为，无极小值.

（Ⅱ） ，令 又，

令解得，当x在内变化时，，变化如下表：

x
)	+	0
	↗		↘

由表知，当时函数有最大值，且最大值为，所以.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

，

又

，

，

即.