Question

【题目】如图，在四棱锥中，已知平面，为等边三角形，，，与平面所成角的正切值为.

(Ⅰ)证明：平面；

(Ⅱ)若是的中点，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）.

【解析】

(Ⅰ)先证明为与平面所成的角，于是可得，于是．又由题意得到，故得，再根据线面平行的性质可得所证结论． (Ⅱ) 取的中点，连接，可证得．建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，根据两个法向量夹角的余弦值得到二面角的余弦值．

(Ⅰ)证明：因为平面，平面，

所以

又,,

所以平面，

所以为与平面所成的角．

在中，，

所以

所以在中，,.

又，

所以在底面中，,

又平面，平面，

所以平面．

(Ⅱ)解：取的中点，连接，则,由(Ⅰ)知，

所以，

分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系.

则，，，

所以，，

设平面的一个法向量为，

由，即，得，

令，则．

设平面的一个法向量为，

由，即，得，

令，则．

所以，

由图形可得二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．