Question

【题目】已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，一个焦点为，一个定点，且，过点的直线与椭圆相交于两点..

（1）求椭圆的方程及离心率.

（2）如果以为直径的圆过原点，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1），离心率为；（2）或

【解析】

（1）根据短轴长求得，根据列方程，求得，由此求得，从而求得椭圆的方程以及离心率.

（2）当直线斜率不存在时，不合题意.当直线斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆方程联立，写出判别式和韦达定理.根据圆的直径有关的几何性质得到，化为，利用向量数量积的坐标运算进行化简，解方程求得直线的斜率，进而求得直线的方程.

（1）由题意得：，

所以 ， ，

因为，即： ，

解得：，所以，

所以 ，

所以椭圆的方程为：，离心率为.

（2）由（1）可知，设 .显然当直线的斜率不存在时不适合题意，设直线的斜率为，

则直线方程为：，与椭圆方程，

联立得：，

，

，，

因为以为直径的圆过原点，

所以，即，

所以 ，即 ，

，

即：,

解得：，即，

所以直线的方程为或.