Question

【题目】设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且，公比大于1的等比数列满足， .

（1）求证数列是等差数列，并求其通项公式；

（2）若，求数列的前项和；

（3）在（2）的条件下，若对一切正整数恒成立，求实数的取值

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）由与的关系，可求出，利用等差数列定义即可证明；（2）根据通项是等差数列与等比数列相乘的特点，用错位相减法求和；（3）可证明数列是单调递减数列，故可转化为恒成立，利用二次不等式恒成立的方法即可求解.

试题解析：（1）当时， ， ，

，所以， .

因为当时， 是公差的等差数列，

， ，

则是首项，公差的等差数列，

所以数列的通项公式为.

（2）由题意得， ；

则前项和 ；

；

相减可得

；

化简可得前项和；

（3）对一切正整数恒成立，

由 ，

可得数列单调递减，即有最大值为，

则，解得或.

即实数的取值范围为.