Question

2．已知函数f（x）=x²+a（x+lnx），a＜0．
（1）若当a=-1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＞$\frac{1}{2}$（e+1）a（e为自然对数的底数），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），令f′（x）＞0，f′（x）＜0解出f（x）的单调区间；
（2）判断f（x）的单调性，求出f（x）的最小值f_min（x），令f_min（x）＞$\frac{1}{2}$（e+1）a解出a的范围．

解答 解：（1）a=-1时，f（x）=x²-x-lnx，
f′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-x-1}{x}$．
令f′（x）=0得x=-$\frac{1}{2}$（舍）或x=1．
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0．
∴f（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）．
（2）f′（x）=2x+a+$\frac{a}{x}$=$\frac{2{x}^{2}+ax+a}{x}$．
令f′（x）=0得x=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4}$或x=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4}$（舍）．
∴当0＜x＜$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4}$时，f′（x）＜0，当x＞$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4}$时，f′（x）＞0．
∴f（x）在（0，$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4}$）上单调递减，在（$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4}$，+∞）上单调递增．
∴f_min（x）=f（$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4}$）．
设$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4}$=t，则2t²+at+a=0，∴t²=$\frac{-at-a}{2}$．
∴f（$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4}$）=f（t）=t²+at+alnt=$\frac{-at-a}{2}$+at+alnt=$\frac{1}{2}$at-$\frac{1}{2}$a+alnt．
∵f（x）＞$\frac{1}{2}$（e+1）a，∴$\frac{1}{2}$at-$\frac{1}{2}$a+alnt＞$\frac{1}{2}$（e+1）a，
∵a＜0，∴$\frac{1}{2}$t+lnt＜$\frac{e}{2}$+1，∴t＜e．
即0＜$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-8a}}{4}$＜e，解得-$\frac{2{e}^{2}}{e+1}$＜a＜0．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，属于中档题．