Question

15．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，顶点A₁在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A₁B=2．
（1）证明：平面A₁AC⊥平面AB₁B；
（2）在棱B₁C₁上是否存在点P，使二面角P-AB-A₁的余弦值为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）由顶点在A₁底面ABC上的射影恰为点B，得到A₁B⊥AC，又AB⊥AC，利用线面垂直的判断定理可得AC⊥面AB₁B，从而可证平面A₁AC⊥平面AB₁B；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可得到结论．

解答 （1）证明：∵A₁B⊥面ABC，∴A₁B⊥AC，
又AB⊥AC，AB∩A₁B=B
∴AC⊥面AB₁B，
∵AC?面A₁AC，
∴平面A₁AC⊥平面AB₁B；
（2）解：如图，建立以A为原点的空间直角坐标系，
则C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），
则$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}=\overrightarrow{BC}$=（2，-2，0），
设$\overrightarrow{{B}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（2λ，-2λ，0），λ∈[0，1]，
则P（2λ，4-2λ，2），
设平面PAB的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AP}$=（2λ，4-2λ，2），$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2λx+（4-2λ）y+2z=0}\\{2y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-λ），
而平面ABA₁的一个法向量是$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
则|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{λ}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
解得λ=$\frac{1}{2}$，即P为棱B₁C₁的中点．
∴在棱B₁C₁上存在中点P，使二面角P-AB-A₁的余弦值为$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题主要考查线面垂直的判断和性质，以及二面角的应用，建立空间直角坐标系利用向量法是解决本题的关键，是中档题．