Question

4．如图，过⊙O外一点P作一条割线与⊙O交于C、A两点，直线PQ切⊙O于点Q，BD为过CA中点F的⊙O的直径．
（1）已知PC=4，PQ=6，求DF•BF的值；
（2）过D作⊙O的切线交BA的延长线于点E，若CD=$\sqrt{10}$，BC=5，求AE的值．

Answer 1

分析 （1）由切割线定理，可得PQ²=PC•PA，求出PA，计算出CA，可得AF，由相交弦定理，可得DF•BF；
（2）证明BD⊥DE，利用AD⊥AB，可得AD²=AB•AE，即可求AE的值．

解答 解：（1）由切割线定理，可得PQ²=PC•PA，
∴PA=$\frac{P{Q}^{2}}{PC}$=9，
∴CA=PA-PC=5，
∵F是CA的中点，
∴AF=FC=$\frac{5}{2}$．
由相交弦定理，可得DF•BF=AF•FC=$\frac{25}{4}$；
（2）∵BD是直径，F是AC的中点，
∴AD=CD=$\sqrt{10}$，AB-BC=5．
∵DE是切线，
∴BD⊥DE，
∵AD⊥AB，
∴AD²=AB•AE，
∴AE=$\frac{A{D}^{2}}{AB}$=2．

点评 相交弦定理、切割线定理注意用于与圆有关的比例线段的计算与证明，解决问题时要注意相似三角形与圆周角、弦切角、圆的切线、射影定理等相关知识的综合应用．