Question

正三棱锥V—ABC的底面边长为2，侧棱长为3，过底面AB边的截面交侧棱VC于P．

(1)若P为VC的中点，求截面PAB的面积；

(2)求截面PAB的面积的最大值．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵四面体V—ABC为正三棱锥， ∴V在平面ABC上的射影O为△ABC的中心．连结OC并延长CO交AB于D，连结DP，则有CD⊥AB．由VO⊥面ABC． ∴AB⊥面VOC，∴AB⊥DP． 在Rt△VOC中，可求OC=． cosPCO=OC∶VC=∶3=． 由P为VC的中点，根据余弦定理得 PD2=PC2＋CD2-2PC·CD·cosPCO =()2＋(·2)2-2··（·2）·cosPCO=． S△PAB=·AB·PD=． (2)由(1)知，VC上任一点P与AB的中点D的连线都是△APB的高，设PC=x(0<x<3)． ∴PD2=PC2＋CD2-2PC·CD·cosPCD =x2＋3-2·x··=x2-x＋3． ∴S△APB=AB·PD =≤． ∴(S△APB)max=． 点评：对正棱锥的问题，应充分利用正棱锥的性质．求截面ABP面积的最小值，也可直接求D到VC的距离，作△ABP的高DP，此时△ABP的面积最小．