题目内容
（2008•咸安区模拟）已知体积为
的正三棱锥V-ABC的外接球的球心为O，满足
+
+
=
，则该三棱锥外接球的体积为
π
π．
| 3 |
| OA |
| OB |
| OC |
| 0 |
| 16 |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
分析：由题意球的三角形ABC的位置，以及形状，利用球的体积，求出球的半径，求出棱锥的底面边长，利用棱锥的体积求出该三棱锥外接球的体积即可．
解答：解：正三棱锥D-ABC的外接球的球心O满足
+
=
，
说明三角形ABC在球O的大圆上，并且为正三角形，
设球的半径为：R，棱锥的底面正三角形ABC的高为：
底面三角形ABC的边长为：
R
正三棱锥的体积为：
×
×（
R）2×R=
解得R3=4，则该三棱锥外接球的体积为
πR 3=
π．
故答案为：
π．
| OA |
| OB |
| CO |
说明三角形ABC在球O的大圆上，并且为正三角形，
设球的半径为：R，棱锥的底面正三角形ABC的高为：
| 3R |
| 2 |
底面三角形ABC的边长为：
| 3 |
正三棱锥的体积为：
| 1 |
| 3 |
| ||
| 4 |
| 3 |
| 3 |
解得R3=4，则该三棱锥外接球的体积为
| 4 |
| 3 |
| 16 |
| 3 |
故答案为：
| 16 |
| 3 |
点评：本题考查球的内接体问题，球的体积，棱锥的体积，考查空间想象能力，转化思想，计算能力，是中档题．
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