Question

7．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t+2\end{array}\right.$，（t为参数），曲线C的普通方程为x²-4x+y²-2y=0，点P的极坐标为（2$\sqrt{2}$，$\frac{7π}{4}$）．
（1）求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程；
（2）若将直线l向右平移2个单位得到直线l′，设l′与C相交于A，B两点，求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据直线l的参数方程，消参可得直线l的普通方程，根据曲线C的普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入化简，可得曲线C的极坐标方程；
（2）由题意得l′的普通方程为y=x，所以其极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$，联立C的极坐标方程，可得弦长，求出弦心距，可得三角形面积．

解答 解：（1）根据题意，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t+2\end{array}\right.$，（t为参数）的普通方程为x-y+2=0，…（2分）
曲线C的普通方程为x²-4x+y²-2y=0，极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ（ρ∈R）…（5分）
（2）将直线l向右平移2个单位得到直线l′，
则l′的普通方程为y=x，
所以其极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$，
代入ρ=4cosθ+2sinθ得：ρ=3$\sqrt{2}$，
故|AB|=3$\sqrt{2}$，
因为OP⊥l′，所以点P到直线l′的距离为2$\sqrt{2}$，
所以△PAB的面积S=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=6…（10分）

点评 本题考查的知识点是简单曲线的极坐标方程，参数方程与普通方程的互化，三角形面积公式，难度中档．