Question

设数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁，且对任意正整数n，{a_n}中小于等于n的项数恰为b_n；{b_n}中小于等于n的项数恰为a_n．

    （1）求a₁；

    （2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

（1）首先，容易得到一个简单事实：{a_n}与{b_n}均为不减数列且a_n∈N，b_n∈N．

若a₁=b₁=0，故{a_n}中小于等于1的项至少有一项，从而b₁≥1，这与b₁=0矛盾．

若a₁=b₁≥2，则{a_n}中没有小于或等于1的项，从而b₁=0，这与b₁≥2矛盾．

所以，a₁=1．

（2）假设当n=k时，a_k=b_k=k，k∈N*．

若a_k+1≥k+2，因{a_n}为不减数列，故{a_n}中小于等于k+1的项只有k项，

于是b_k+1=k，此时{b_n}中小于等于k的项至少有k+1项(b₁，b₂，…，b_k，b_k+1)，

从而a_k≥k+1，这与假设a_k=k矛盾．

若a_k+1=k，则{a_n}中小于等于k的项至少有k+1项(a₁，a₂，…，a_k，a_k+1)，

于是b_k≥k+1，这与假设b_k=k矛盾．

所以，a_k+1=k+1．

所以，当n=k+1时，猜想也成立．

综上，由(1)，(2)可知，a_n=b_n=n对一切正整数n恒成立．

所以，a_n=n，即为所求的通项公式．