Question

已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆C：(x－2)2＋y2＝1的两条切线，切点为M，N，|MN|＝．

（1）求抛物线E的方程；

（2）设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中 O为坐标原点）．

①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；

 ②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G、D两点，求四边形AGBD面积的最小值．

Answer 1

解：（1）由已知得K(－，0)，C(2，0)．

设MN与x轴交于点R，由圆的对称性可知，|MR|＝．

   由得：或（舍去），

       即，所以直线AB过定点；…………………7分

       (ⅱ)由(ⅰ)得，

       同理得，

       则四边形AGBD面积

      

       令，则是关于的增函数，

故.当且仅当时取到最小值88     …………………12分