Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：（x+1）²+y²=1，圆C₂：（x-3）²+（y-4）²=1．
（Ⅰ）判断圆C₁与圆C₂的位置关系；
（Ⅱ）若动圆C同时平分圆C₁的周长、圆C₂的周长，则动圆C是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）求出两圆的圆心距离，即可判断圆C₁与圆C₂的位置关系；
（Ⅱ）根据圆C同时平方圆周，建立条件方程即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）C₁：（x+1）²+y²=1的圆心为（-1，0），半径r=1，圆C₂：（x-3）²+（y-4）²=1的圆心为（3，4），半径R=1，
则|C₁C₂|=

(-1-3)2+42

=

32

=4

2

＞1+1，
∴圆C₁与圆C₂的位置关系是相离．
（Ⅱ）设圆心C（x，y），由题意得CC₁=CC₂，
即

(x+1)2+y2

=

(x-3)2+(y-4)2

，
整理得x+y-3=0，
即圆心C在定直线x+y-3=0上运动．
设C（m，3-m），
则动圆的半径

1+(CC1)2

=

1+(m+1)2+(3-m)2

，
于是动圆C的方程为（x-m）²+（y-3+m）²=1+（m+1）²+（3-m）²，
整理得：x²+y²-6y-2-2m（x-y+1）=0．
由

x-y+1=0 x2+y2-6y-2=0

，
解得

x=1+ 3 2 2 y=2+ 3 2 2

或

x=1- 3 2 2 y=2- 3 2 2

，
即所求的定点坐标为（1-

3 2

2

，2-

3 2

2

），（1+

3 2

2

，2+

3 2

2

）．

点评：本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，以及与圆有关的综合应用，考查学生的计算能力．