Question

9．已知函数f（x）=$\frac{{{{（x+2）}^2}+sinx}}{{{x^2}+4}}$，其导函数记为f'（x），则f（2015）+f'（2015）+f（-2015）-f'（-2015）=2．

Answer 1

分析 求解f（-x）+f（x）的值和f′（-x）-f′（x）的值的关系，在求解x=2015的值．

解答 解：函数f（x）=$\frac{{{{（x+2）}^2}+sinx}}{{{x^2}+4}}$=$\frac{{x}^{2}+4x+4+sinx}{{x}^{2}+4}$
则f（-x）=$\frac{（-x+2）^{2}-sinx}{{x}^{2}+4}=\frac{{x}^{2}-4x+4-sinx}{{x}^{2}+4}$
故有f（-x）+f（x）=$\frac{{x}^{2}+4x+4+sinx}{{x}^{2}+4}$+$\frac{{x}^{2}-4x+4-sinx}{{x}^{2}+4}$=$\frac{2{x}^{2}+8}{{x}^{2}+4}=2$．
∴f（2015）+f（-2015）=2，
f'（x）=$\frac{[2（x+2）+cox]（{x}^{2}+4）-[（x+2）^{2}+sinx]•2x}{{（x}^{2}+4）^{2}}$，
f′（-x）=$\frac{[2（-x+2）+cox]（{x}^{2}+4）-[（-x+2）^{2}-sinx]•-2x}{{（x}^{2}+4）^{2}}$，
f′（x）-f′（-x）=$\frac{[2（x+2）+cox]（{x}^{2}+4）-[（x+2）^{2}+sinx]•2x}{{（x}^{2}+4）^{2}}$-$\frac{[2（-x+2）+cox]（{x}^{2}+4）-[（-x+2）^{2}-sinx]•-2x}{{（x}^{2}+4）^{2}}$=0
∴f′（2015）-f′（-2015）=0
故得f（2015）+f'（2015）+f（-2015）-f'（-2015）=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了导函数的求法和奇偶性的运用能力和化简计算能力．属于中档题．