Question

18．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为2π
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，求此时f（A）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换，正弦函数的周期性，求得ω的值，可得f（x）的解析式．
（Ⅱ）根据等比数列的性质、正弦定理可得a²=bc，利用余弦定理求得A的范围，再利用正弦函数的定义域和值域，求得f（A）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的最小正周期为$\frac{2π}{2ω}$=2π，
∴ω=$\frac{1}{2}$，f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）在△ABC中，∵sinB，sinA，sinC成等比数列，∴sin²A=sinBsinC，∴a²=bc．
∵cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}-bc}{2bc}$≥$\frac{1}{2}$，∴A∈（0，$\frac{π}{3}$]，∴A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，
求此时f（A）=sin（A-$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，等比数列的性质，余弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于基础题．