Question

8．点P是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右支上一点，其左，右焦点分别为F₁，F₂，直线PF₁与以原点O为圆心，a为半径的圆相切于A点，线段PF₁的垂直平分线恰好过点F₂，则离心率的值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 运用线段的垂直平分线的性质定理可得|PF₂|=|F₁F₂|=2c，设PF₁的中点为M，由中位线定理可得|MF₂|=2a，再由勾股定理和双曲线的定义可得4b-2c=2a，结合a，b，c的关系，可得a，c的关系，即可得到双曲线的离心率．

解答 解：由线段PF₁的垂直平分线恰好过点F₂，
可得|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
由直线PF₁与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，
可得|OA|=a，
设PF₁的中点为M，由中位线定理可得|MF₂|=2a，
在直角三角形PMF₂中，可得|PM|=$\sqrt{4{c}^{2}-4{a}^{2}}$=2b，
即有|PF₁|=4b，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
即4b-2c=2a，即2b=a+c，
即有4b²=（a+c）²，
即4（c²-a²）=（a+c）²，
可得a=$\frac{3}{5}$c，
所以e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平面几何中垂直平分线定理和中位线定理的运用，考查运算能力，属于中档题．