Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=

1

4

，a_n+b_n=1，b_n+1=

bn

(1-an)(1+an)

．
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（Ⅱ）设C_n=

1

bn-1

，求证数列{C_n}是等差数列，并求b_n的通项公式；
（Ⅲ）设S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，不等式4aS_n＜b_n恒成立时，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）直接由数列递推式求b₁，b₂，b₃，b₄；
（Ⅱ）把数列递推式变形，得到数列{C_n}是以-4为首项，-1为公差的等差数列，求得数列{C_n}的通项公式后代入C_n=

1

bn-1

求b_n的通项公式；
（Ⅲ）求出数列{a_n}的通项公式，代入S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1利用裂项相消法求出S_n，把不等式4aS_n＜b_n恒成立转化为（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立，构造二次函数后分离参数n得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+b_n=1，∴a_n=1-b_n，
∴b_n+1=

bn

(1-an)(1+an)

=

bn

bn(2-bn)

=

1

2-bn

．
∵a₁=

1

4

，
∴b1=

3

4

，b2=

4

5

，b3=

5

6

，b4=

5

7

；
（Ⅱ）∵bn+1-1=

1

2-bn

-1，
∴

1

bn+1-1

=

2-bn

bn-1

=-1+

1

bn-1

，
∴数列{C_n}是以-4为首项，-1为公差的等差数列，
∴c_n=-4+（n-1）（-1）=-n-3．
于是cn=

1

bn-1

=-n-3，
bn=

n+2

n+3

；
（Ⅲ）an=1-bn=

1

n+3

，
S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1=

1

4×5

+

1

5×6

+…+

1

(n+3)(n+4)

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

．
∴4aS_n-b_n=

an

n+4

-

n+2

n+3

=

(a-1)n2+(3a-6)n-8

(n+3)(n+4)

．
由条件可知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立即可满足条件，
设f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8．
当a=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立，
当a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立，
当a＜1时，对称轴 n=-

3

2

•

a-2

a-1

=-

3

2

(1-

1

a-1

)＜0，f（n）在（1，+∞）为单调递减函数．
则f（1）=（a-1）n²+（3a-6）n-8=（a-1）+（3a-6）-8=4a-15＜0，
∴a＜

15

4

，
∴a＜1时，4aS_n＜b_n恒成立．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查了数列的函数特性，是中档题．