Question

（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，且过点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）直线交椭圆于P、Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由椭圆过点 得，由离心率是得,另外结合列方程组即可确定 的值从而得到椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将直线方程与椭圆方程联立消去一个变量，得到关于的一元二次方程，结合一元二次方程根的判别式与韦达定理以及由点B在以PQ为直径的圆内，得为钝角或平角，即确定的关系，从而求出实数的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）由题意知，解得，

椭圆的标准方程为：. 4分

（Ⅱ）设

联立，消去，得： 6分

依题意：直线恒过点，此点为椭圆的左顶点，

所以，----①，

由（*）式，-------②，

可得----③， 8分

由①②③，， 10分

由点B在以PQ为直径的圆内，得为钝角或平角，即.

. 12分

即，整理得.

解得：. 14分

考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系