Question

已知：a＞0，函数f（x）=ax-lnx．
（1）设函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l，若l与圆（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x），把x=1代入即可得到切线的斜率，然后求出f（1）得到切点坐标，根据斜率与切点写出切线方程，又因为切线与圆相切，则根据圆心到直线的距离等于半径列出关于a的方程，求出a的值即可；（2）求出f′（x），根据a大于0来讨论导函数的正负时x的取值范围即可得到函数的增减区间．
解答：解：（1）∵f（x）=ax-lnx
∴
又f（1）=a∴l的方程为：y-a=（a-1）（x-1）
即：（a-1）x-y+1=0
又l与圆（x+1）²+y²=1相切，
则圆心（-1，0）的直线l的距离等于半径即，两边平方化简得：-4a+4=-2a+3，解得a=1；
（2）
∵a＞0，
∴又x＞0
∴当
当
∴f（x）增区间为，减区间为
点评：本题是一道综合题，要求学生掌握直线与圆相切时的条件，会利用导数研究曲线上某点的切线方程，会利用导数研究函数的单调性．