Question

已知实数a＜0，函数f（x）=ax（x-1）²+a+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）有极大值-7，求实数a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，利用导数的正负，确定函数的单调区间；
（Ⅱ）根据函数的单调性，确定函数f（x）在x=1处取得极大值-7，从而可求实数a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax（x-1）²+a+1，∴f′（x）=a（3x²-4x+1）．---（2分）
令f′（x）=0，
∵a＜0，∴3x²-4x+1=0，即（3x-1）（x-1）=0，
∴x=

1

3

或x=1
当x∈(

1

3

，1)时，f′（x）＞0，f（x）的单调递增区间为(

1

3

，1)
当x∈（-∞，

1

3

）或x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）的单调递减区间为（-∞，

1

3

），（1，+∞）．
（Ⅱ）∵x∈（-∞，

1

3

）时，f′（x）＜0，x∈(

1

3

，1)时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=1处取得极大值-7．
即a+1=-7，解得a=-8

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，利用导数的正负，确定函数的单调区间是关键．