Question

已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有极大值32．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）先将函数f（x）展开，然后对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求x的值，再由函数的单调性进行验证从而最终确定答案．
（2）根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可求单调区间．

解答：解：（1）∵f（x）=ax（x-2）²=ax³-4ax²+4ax，
∴f′（x）=3ax²-8ax+4a．
由f′（x）=0，得3ax²-8ax+4a=0．
∵a≠0，∴3x²-8x+4=0．
解得x=2或x=

2

3

．
∵a＞0，∴x＜

2

3

或x＞2时，f′（x）＞0；

2

3

＜x＜2时，f′（x）＜0．
∴当x=

2

3

时，f（x）有极大值32，即

8

27

a-

16

9

a+a=32，∴a=27．
（2）∵x＜

2

3

或x＞2时，f′（x）＞0，∴函数f（x）单调递增
当

2

3

＜x＜2时，f′（x）＜0，∴函数f（x）单调递减
f（x）在（-∞，

2

3

）和（2，+∞）上是增函数，在（

2

3

，2）上是减函数．

点评：本题主要考查函数的极值、单调性与其导函数之间的关系．属基础题．