Question

已知实数a＞0，函数f(x)=

1-x2 1+x2

+a

1+x2 1-x2

．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）当a=1时，判断f（x）的单调性，并说明理由；
（3）求实数a的范围，使得对于区间[-

2 5

5

，

2 5

5

]上的任意三个实数r、s、t，都存在以f（r）、f（s）、f（t）为边长的三角形．

Answer 1

分析：（1）判断f（x）的定义域为（-1，1），且f（x）为偶函数，a=1时，化简函数，即可求f（x）的最小值；
（2）先化简函数，得出函数的单调性，再利用定义进行证明；
（3）换元，原问题等价于求实数a的范围，使得在区间[

1

3

，1]上，恒有2y_min＞y_max．

解答：解：由题意，f（x）的定义域为（-1，1），且f（x）为偶函数．
（1）a=1时，f(x)=

1-x2 1+x2

+

1+x2 1-x2

=

2

1-x4

…（2分）
∴x=0时，f(x)=

1-x2 1+x2

+

1+x2 1-x2

最小值为2．…（4分）
（2）a=1时，f(x)=

1-x2 1+x2

+

1+x2 1-x2

=

2

1-x4

∴x∈[0，1）时，f（x）递增；x∈（-1，0]时，f（x）递减； …（6分）
由于f（x）为偶函数，
∴只对x∈[0，1）时，说明f（x）递增．
设0≤x₁＜x₂＜1，
∴

1- x 4 1

＞

1- x 4 2

＞0，得

1

1- x 4 1

＜

1

1- x 4 2

f(x1)-f(x2)=

1

1- x 4 1

-

1

1- x 4 2

＜0
∴x∈[0，1）时，f（x）递增；  …（10分）
（3）设t=

1-x2 1+x2

，则
∵x∈[-

2 5

5

，

2 5

5

]，
∴t∈[

1

3

，1]，∴y=t+

a

t

(

1

3

≤t≤1)
从而原问题等价于求实数a的范围，使得在区间[

1

3

，1]上，恒有2y_min＞y_max．…（11分）
①当0＜a≤

1

9

时，y=t+

a

t

在[

1

3

，1]上单调递增，∴ymin=3a+

1

3

，ymax=a+1，由2y_min＞y_max得a＞

1

15

，
从而

1

15

＜a≤

1

9

；  …（12分）
②当

1

9

＜a≤

1

3

时，y=t+

a

t

在[

1

3

，

a

]上单调递减，在[

a

，1]上单调递增，∴ymin=2

a

，ymax=max{3a+

1

3

，a+1}=a+1，
由2y_min＞y_max得7-4

3

＜a＜7+4

3

，从而

1

9

＜a≤

1

3

；…（13分）
③当

1

3

＜a＜1时，y=t+

a

t

在[

1

3

，

a

]上单调递减，在[

a

，1]上单调递增，∴ymin=2

a

，ymax=max{3a+

1

3

，a+1}=3a+

1

3

，
由2y_min＞y_max得

7-4 3

9

＜a＜

7+4 3

9

，从而

1

3

＜a＜1；  …（14分）
④当a≥1时，y=t+

a

t

在[

1

3

，1]上单调递减，∴ymin=a+1，ymax=3a+

1

3

，
由2y_min＞y_max得a＜

5

3

，从而1≤a＜

5

3

；…（15分）
综上，

1

15

＜a＜

5

3

．…（16分）

点评：本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查学生分析转化问题的能力，属于难题．