题目内容
6．
如图，在△ABC中，已知O为边BC的中点，∠A0B=60°，AB=10．（1）当OA=4$\sqrt{3}$时，求△ABC的面积；
（2）设AC=x，求x的取值范围．
分析 （1）利用正弦定理求出B的正弦，进一步求出BC上的高，进一步求出OB的长度，由三角形面积公式求得；
（2）利用正弦定理将OB用角BAO表示，根据角度范围求出OB范围，再由三边关系得到所求．
解答 解：（1）在△AOB中，$\frac{OA}{sinB}=\frac{AB}{sin∠AOB}$，则sinB=$\frac{4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{10}=\frac{3}{5}$，所以BC边上的高AD=ABsinB=10×$\frac{3}{5}$=6，
所以OB=4$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$+10×$\frac{3}{5}$=2$\sqrt{3}$+6，所以△ABC的面积2×$\frac{1}{2}$OB×AD=（2$\sqrt{3}$+6）×6=12（$\sqrt{3}$+3）；
（2）在△AOB中，设∠BAO=α，则$\frac{OB}{sinα}=\frac{AB}{sin60°}$，所以OB=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$sinα，又0≤α＜120°，又BC=2OB，所以BC≤$\frac{40\sqrt{3}}{3}$，
在△ABC中，BC-AB＜AC＜AB+BC即$\frac{40\sqrt{3}}{3}-10$＜x＜$\frac{40\sqrt{3}}{3}+10$．
点评 本题主要考查了利用正弦定理解三角形；属于中档题．
练习册系列答案
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4．在等差数列{an}中，a2、a13是方程x2-x-3=0的两个根，则前14项的和S14为（ ）
| A． | 20 | B． | 16 | C． | 12 | D． | 7 |
14．已知左、右焦点分别是F1，F2的双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$上一点A满足AF1⊥AF2，且|AF1|=3|AF2|，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
| A． | y=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$x | B． | y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x | C． | y=±$\sqrt{6}$x | D． | y=±$\sqrt{10}$x |
如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直，AB=AC=1，AA1=2，且P，Q，M分别是BB1，CC1，B1C1的中点，AB⊥AQ．
如图，在三棱锥P-ABC中，E、F、G、H分别是棱PB、PC、AB、BC的中点，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AB=AC=2．
15．已知直线2x+y-10=0过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的焦点且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为（ ）
| A． | $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$ | B． | $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$ | C． | $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1$ | D． | $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ |