Question

1．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，AB=AC=1，AA₁=2，且P，Q，M分别是BB₁，CC₁，B₁C₁的中点，AB⊥AQ．
（1）求证：AB⊥AC；
（2）求证：AQ∥平面A₁PM；
（3）求AQ与平面BCC₁B₁所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由于三棱柱中侧棱与底面垂直，分析可得AB⊥A₁A，又由题干条件AB⊥AQ，由线面垂直的判定定理即可得证明；
（2）取BC的中点G，连接AG、QG、BC₁，由中位线的性质可得可得MP∥BC₁与QG∥BC₁，进而可得QG∥MP，分析可得A₁M∥AG，由面面平行的判定方法可得面APQ∥面A₁PM，进而结合面面平行的性质可得证明；
（3）取BC的中点G，连接AG、DG，分析易得AG⊥面BCC₁B₁，进而由线面角的定义可得∠AQG为直线AQ与平面BCC₁B₁所成角；在△ABC中分析可得BC=$\sqrt{2}$AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，进而在Rt△AQG中，计算可得AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，GQ=$\sqrt{G{C}^{2}+Q{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，由正切的定义可得tan∠AQG=$\frac{AG}{GQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，计算即可得答案．

解答 解：（1）证明：∵A₁A⊥面ABC，而AB⊆面ABC，∴AB⊥A₁A，
又∵AB⊥AQ，
∴AB⊥面ACC₁A₁，
又∵AC⊆面ACC₁A₁，
∴AB⊥AC；
（2）证明：取BC的中点G，连接AG、QG、BC₁，
∵P、M分别是BB₁、B₁C₁的中点，
∴MP∥BC₁，
同理：QG∥BC₁，
∴QG∥MP，
又∵M为B₁C₁的中点，G为BC中点，
∴A₁M∥AG，
又∵QG∥MP，
∴面APQ∥面A₁PM，
∴AQ∥平面A₁PM；
（3）取BC的中点G，连接AG、DG，
∵AB=AC=1，
∴AG⊥BC，
又∵AG⊥BB₁，
∴AG⊥面BCC₁B₁，
故∠AQG为直线AQ与平面BCC₁B₁所成角，
在△ABC中，∠ABC=90°，AB=AC=1，则BC=$\sqrt{2}$且AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△AQG中，AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，GQ=$\sqrt{G{C}^{2}+Q{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
则tan∠AQG=$\frac{AG}{GQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则∠AQG=30°．

点评 本题考查直线与平面的位置关系，涉及直线与平面平行，直线与平面所成的角；求直线与平面所成的角时关键正确分析直线与平面的关系．