已知左.右焦点分别是F1.F2的双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$上一点A满足AF1⊥AF2.且|AF1|=3|AF2|.则该双曲线的渐近线方程为( )A．y=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$xB．y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$xC．y=±$\sqrt{6}$xD．y=� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

14．已知左、右焦点分别是F₁，F₂的双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$上一点A满足AF₁⊥AF₂，且|AF₁|=3|AF₂|，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

A．

y=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$x

B．

y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x

C．

y=±$\sqrt{6}$x

D．

y=±$\sqrt{10}$x

分析由题意可得A为双曲线的右支，由双曲线的定义可得，|AF₁|-|AF₂|=2a，求得|AF₁|=3a，|AF₂|=a，运用勾股定理和a，b，c的关系和渐近线方程即可得到所求．

解答解：由题意可得A为双曲线的右支，
由双曲线的定义可得，|AF₁|-|AF₂|=2a，
由|AF₁|=3|AF₂|，可得
|AF₁|=3a，|AF₂|=a，
由AF₁⊥AF₂，
可得|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²，
即有9a²+a²=4c²，
即为c²=$\frac{5}{2}$a²，
即有a²+b²=$\frac{5}{2}$a²，即b²=$\frac{3}{2}$a²，
即有b=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
可得双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$x．
故选：B．

点评本题考查双曲线的渐近线方程，注意运用双曲线的定义和勾股定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于基础题．

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