Question

偶函数f（x）满足f（1）=0，且当x∈（0，+∞），f （x）是减函数，求不等式f（log_ax）＜0解集．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：本题可以先研究函数f（x）特征，对称性，过定点，单调性，得到f（x）＜0的解，再解不等式f（log_ax）＜0，得到log_ax的范围，对a进行分类讨论，得到本题结论．

解答： 解：∵函数f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），函数f（x）的图象关于y轴对称．
∵f（x）满足f（1）=0，
∴函数f（x）的图象过点（1，0），（-1，0）．
∵当x∈（0，+∞），f （x）是减函数，
∴当x∈（-∞，0），f （x）是增函数．
∴当x＜-1时，f（x）＜0，
当-1＜x＜0时，f（x）＞0，
当0＜x＜1时，f（x）＞0，
当x＞1时，f（x）＜0，
∵不等式f（log_ax）＜0，
∴log_ax＜-1或log_ax＞1，
当a＞1时，0＜x＜

1

a

或x＞a，
当0＜a＜1时，0＜x＜a或x＞

1

a

，
∴当a＞1时，不等式的解集为：{x|0＜x＜

1

a

或x＞a}，
当0＜a＜1时，不等式的解集为：{x|0＜x＜a或x＞

1

a

}．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，还考查了分类讨论的数学思想，本题难度适中，属于中档题．