Question

f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0，且f（-2）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（　　）

• A、（-2，0）∪（2，+∞）
• B、（-2，0）∪（0，2）
• C、（-∞，-2）∪（2，+∞）
• D、（-∞，-2）∪（0，2）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：首先，构造函数F（x）=

f(x)

g(x)

，然后，判断得到该函数为奇函数，然后求解导数，得到该函数值为负数时，自变量的取值，也是就是所求的不等式的解集．

解答： 解：设函数F（x）=

f(x)

g(x)

，
∵F（-x）=

f(-x)

g(-x)

=

-f(x)

g(x)

=-F（x），
∴函数F（x）R上的奇函数，
当x＜0时，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0，且f（-2）=0，
∴F′（x）=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

[g(x)]2

＜0，F（-2）=0，
∴F（x）在（-∞，0）上为减函数，且F（-2）=0，
∴当x∈（-2，0）时，F（x）＜0，此时，f（x）g（x）＜0；
∵函数F（x）R上的奇函数，
∴当x∈（2，+∞）时，F（x）＜0，此时，f（x）g（x）＜0；
综上，不等式f（x）g（x）＜0的解集是（-2，0）∪（2，+∞）．
故选A．

点评：本题重点考查了函数的奇偶性和单调性、函数的单调性与导数之间的关系等知识，本题关键是构造新函数，利用其奇偶性以及单调性解答．