题目内容
【题目】设 
（n∈N*，an∈Z，bn∈Z）．
（1）求证：an2﹣8bn2能被7整除；
（2）求证：bn不能被5整除．
【答案】
（1）证明：（ 1+2 
）2n+1 
+ 
（2 ）+ 
（2 ）2+…+ 
（2 ）2n+1，
（1﹣2 ）2n+1= 
﹣ （2 ）+ （2 ）2+…﹣ （2 ）2n+1，
由（1+2 ）2n+1=an+2 bn，（1﹣2 ）2n+1=an﹣2 bn，
（1+2 ）2n+1（1﹣2 ）2n+1=（an+2 bn）（an﹣2 bn），
即an2﹣8bn2=﹣72n+1，
∴an2﹣8bn2能被7整除；
（2）由an2﹣8bn2=﹣72n+1，则8bn2=an2+72n+1，
由72n=49n=（50﹣1）n= 
×50n+ 
×50n﹣1×（﹣1）1+…+ 
×50×（﹣1）n﹣1+ 
×（﹣1）n，
除最后一项都是5的倍数，
∴72n+1的余数是2或﹣2，
由an2的是平方数，其尾数为0，1，4，5，6，9，
∴an2+72n+1的尾数不可能是0或5，
∴an2+72n+1不能被5整除，
即8bn2不能被5整除，
∴bn不能被5整除．
【解析】（1）利用二项式定理展开（ 1+2）2n+1与（ 1-2）2n+1得到（1+2）2n+1=an+2bn，（1﹣2）2n+1=an﹣2bn，即可证明；（2）利用尾数为0或5的数能被5整除进行证明.
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