Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，曲线C的参数方程为 （θ为参数），设直线l与曲线C交于A，B两点．若点P在曲线C上运动，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．

Answer 1

【答案】解：∵曲线C的参数方程为 （θ为参数），

∴曲线C的普通方程为 =1，

联立 ，解得 或 ，

∴A（0，﹣2），B（3，1），∴|AB|= =3 ，

△PAB的面积最大，即点P到直线l的距离d最大，

设P（ ，sinθ），则d= = ，

当cos（ ）=﹣1，即 ，k∈Z时，

=3 ，

∴△PAB的最大面积S= = =9．

此时P（﹣3， ）．

【解析】先将曲线C的参数方程化为普通方程，联立曲线C的方程和直线l的方程可解得A，B的坐标，进而可得|AB|，再设P的坐标，计算点P到直线l的距离d，利用辅助角公式和三角函数的性质可得d的最大值，从而可得△PAB的最大面积及点P的坐标．