Question

【题目】已知曲线C 的参数方程为 （α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）设l1：θ= ，l2：θ= ，若l 1、l2与曲线C 相交于异于原点的两点 A、B，求△AOB的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为 （α为参数），利用sin2α+cos2α=1，

， =y﹣1，可得：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．

∴曲线C的普通方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．

将 代入并化简得：ρ=4cosθ+2sinθ

即曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ+2sinθ．

（Ⅱ）解法一：在极坐标系中，C：ρ=4cosθ+2sinθ

∴由 得到 ；

同理 ．

又∵

∴ ．

即△AOB的面积为 ．…

解法二：在平面直角坐标系中，C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5

l1：θ= ，l2：θ= ，可得 ，

∴由 得

∴

同理

∴ ，

又∵

∴

即△AOB的面积为 ．

【解析】（1）先将参数方程进行消参（sin2α+cos2α=1），在根据定义转化为极坐标方程；（2）利用极坐标方程解出OA、OB的长度，得出∠AOB的度数，由三角形面积可得.