题目内容
把一个周长为12的长方形卷成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为（ ）
| A、1：2 | B、1：π |
| C、2：1 | D、2：π |
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
专题：空间位置关系与距离
分析：设圆柱高为x，即长方形的宽为x，则圆柱底面周长即长方形的长为6-x，圆柱底面半径：R=
，圆柱的体积V，利用导数法分析出函数取最大值时的x值，进而可得答案．
| 6-x |
| 2π |
解答：
解：设圆柱高为x，即长方形的宽为x，
则圆柱底面周长即长方形的长为
=6-x，
∴圆柱底面半径：R=
∴圆柱的体积V=πR2h=π（
）2x=
，
∴V′=
=
，
当x＜2或x＞6时，V′＞0，函数单调递增；
当2＜x＜6时，V′＜0，函数单调递减；
当x＞6时，函数无实际意义
∴x=2时体积最大
此时底面周长=6-2=4，
该圆柱底面周长与高的比：4：2=2：1
故选：C．
则圆柱底面周长即长方形的长为
| 12-2x |
| 2 |
∴圆柱底面半径：R=
| 6-x |
| 2π |
∴圆柱的体积V=πR2h=π（
| 6-x |
| 2π |
| x3-12x2+36x |
| 4π |
∴V′=
| 3x2-24x+36 |
| 4π |
| 3(x-2)(x-6) |
| 4π |
当x＜2或x＞6时，V′＞0，函数单调递增；
当2＜x＜6时，V′＜0，函数单调递减；
当x＞6时，函数无实际意义
∴x=2时体积最大
此时底面周长=6-2=4，
该圆柱底面周长与高的比：4：2=2：1
故选：C．
点评：本题考查的知识点是旋转体，圆柱的几何特征，其中将圆柱的体积表示为x的函数，进而转化为函数最值问题，是解答的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
| D、2 |
已知a、b是异面直线，a⊥平面α，b⊥平面β，则α、β的位置关系是（ ）
| A、相交 | B、平行 |
| C、重合 | D、不能确定 |
定义在（0，+∞）上函数f（x）满足对任意x，y∈（0，+∞），都有xyf（xy）=xf（x）+yf（y），记数列an=f（2n），有以下命题：
①f（1）=0；
②a1=a2；
③令函数g（x）=xf（x），则g（x）+g（
）=0；
④令数列bn=2n•an，则数列{bn}为等比数列．
其中正确命题的为（ ）
①f（1）=0；
②a1=a2；
③令函数g（x）=xf（x），则g（x）+g（
| 1 |
| x |
④令数列bn=2n•an，则数列{bn}为等比数列．
其中正确命题的为（ ）
| A、①②③ | B、①② |
| C、②③ | D、①②③④ |
已知椭圆的焦点F1、F2在x轴上，它与y轴的一个交点为P，且△PF1F2为正三角形，且椭圆上的点与焦点的最短距离为
，则椭圆的方程为（ ）
| 3 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
命题“若α=
，则sinα=1”的逆否命题是（ ）
| π |
| 2 |
A、若α≠
| ||
B、若α=
| ||
C、若sinα≠1，则α≠
| ||
D、若sinα≠1，则α=
|