题目内容

16．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中点．
（1）求证：BC1∥平面A1CD；
（2）若AC=CD，求证A1D⊥CD．

分析 （1）如图，连接AC1，交A1C于点O，连结OD，证明：BC1∥OD，即可证明BC1∥平面A1CD；
（2）若AC=CD，证明CD⊥平面ABB1A1，即可证明A1D⊥CD．

解答 证明：（1）如图，连接AC1，交A1C于点O，连结OD．
据直三棱柱性质可知四边形ACC1A1为平行四边形，所以O为A1C的中点．
又因为D是AB的中点，所以BC1∥OD．…（2分）
又因为BC1?平面A1CD，OD?平面A1CD，
所以BC1∥平面A1CD．…（4分）
（2）因为AC=BC，D为AB中点，所以CD⊥AB．…（5分）
据直三棱柱ABC-A1B1C1性质知AA1⊥平面ABC．
又因为CD?平面ABC，所以AA1⊥CD．
又因AA1∩AB=A，AA1，AB?平面ABB1A1，
所以CD⊥平面ABB1A1，…（11分）
又因为A1D?平面ABB1A1，所以CD⊥A1D，即A1D⊥CD．…（12分）

点评 本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

练习册系列答案
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②函数$f（x）={log_2}（x+\sqrt{1+{x^2}}）$，g（x）=1+$\frac{2}{{{2^x}-1}}$不都是奇函数；
③若函数f（x）满足f（x-1）=-f（x+1），且f（1）=2，则f（7）=-2
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户数51510155
（I）在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X，求X的数学期望；
（II）已知该县某山区自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度进行收购．经测算以每千瓦装机容量年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？
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