Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x，2，2），$\overrightarrow{b}$=（2，y，-2），$\overrightarrow{c}$=（3，1，z），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$；
（2）求向量（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）与（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据空间向量平行的坐标表示，列出方程组求出x、y的值，再根据向量垂直的坐标表示，列出方程求出z的值即可；
（2）利用空间向量的数量积求出夹角的余弦值即可．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（x，2，2），$\overrightarrow{b}$=（2，y，-2），且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴x≠0，y≠0，
∴$\frac{x}{2}$=$\frac{2}{y}$=$\frac{2}{-2}$，
解得x=-2，y=-2；
∴$\overrightarrow{a}$=（-2，2，2），$\overrightarrow{b}$=（2，-2，-2），
又∵$\overrightarrow{c}$=（3，1，z），$\overrightarrow{b}$⊥$\overrightarrow{c}$，
∴$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=0，
即6-2-2z=0，
解得z=2，
∴$\overrightarrow{c}$={3，1，2}；
（2）由（1）得，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$=（1，3，4），
$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=（5，-1，0），
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）=1×5+3×（-1）+4×0=2，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{1}^{2}{+3}^{2}{+4}^{2}}$=$\sqrt{26}$，
|$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{5}^{2}{+（-1）}^{2}{+0}^{2}}$=$\sqrt{26}$；
设$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$所成角为θ，
∴cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|×|\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|}$=$\frac{2}{\sqrt{26}×\sqrt{26}}$=$\frac{1}{13}$．

点评 本题考查了空间向量的坐标运算与数量积运算的应用问题，是基础题目．